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Curiosimáticas (I) por Gervasio

A raiz de una coincidencia de cumpleaños, surgió durante el café de media mañana la siguiente pregunta:

¿cuánta gente (elegida aleatoriamente) hace falta en una clase para que la probabilidad de que al menos dos personas cumplan años el mismo día sea superior a 50%?

Llamemos P(n) a la probabilidad de que al menos dos personas cumplan años el mismo día si la clase tiene n personas.

Un primer eructo mental sugiere el siguiente razonamiento:

• La probabilidad de que dos (o más) personas cumplan año el mismo día es CERO si n=1, luego P(1) = 0.
• La probabilidad es UNO si n>365: P(n>365) = 1.

Luego, el número n más pequeño que satisface P(n)>0.5 será cercano a 366/2 = 183.

Con 183 personas en la clase, la probabilidad de tener un cumpleaños repetido es superior al 50%.
Como suele suceder con casi todo eructo mental, este razonamiento es completamente erróneo.

Resulta casi sorprendente que con tan solo 23 personas en una clase, la probabilidad de tener un cumpleaños repetido supera el 50%.

Analizando el problema con un poco más de cuidado, resulta evidente que P(183) deber ser muy cercano a 1, ya que la distribución de cumpleaños para no repetir ninguno es altamente improbable. Muchas veces en este tipo de problemas es más fácil calcular la probabilidad de que algo NO ocurra.
Si llamamos Q(n) a la probabilidad de que NO se repita ningún cumpleaños en una clase de n personas, tenemos que

P(n) = 1 - Q(n)

(en otras palabras, la probabilidad de que se repita un cumpleaños sumada a la probabilidad de que no se repita un cumpleaños es 1).

Q(n) es relativamente fácil de calcular:

Q(1) = 365/365 = 1, luego P(1) = 0
Q(2) = (365/365)*(364/365) = Q(1)*364/365
Q(3) = Q(2)*363/365
etc etc etc

Esta es una simple tarea para un PC. El siguiente gráfico muestra
P(n) = 1-Q(n) para n que va de 1 a 80.

Como puntos de referencia:
P(22) = 0.47569530766255019
P(23) = 0.50729723432398555
P(80) = 0.99991433194931345
P(150) = 0.99999999999999978

(les ahorro en la gráfica el aburridísimo detalle de P(80) a P(365), que varía entre 0.9999 y 1.0)


Ahora los dejo con el siguiente ejercicio de probabilidad, conocido en matemáticas como "the broken spaghetti noodle":

Cae al suelo un spaghetti (crudo) y se rompe en 3 partes.
¿Cual es la probabilidad de poder formar un triángulo con las tres partes resultantes?

La respuesta es relativamente simple. Lo divertido del problema es la siguiente generalización:

El spaghetti se rompe en n partes. ¿Cual es la probabilidad de poder formar un n-gono?

La respuesta a ambas preguntas la publicó mi hermano y un amiguete suyo, ambos de la universidad de Berkeley, en el American Mathematical Monthly, y pueden leerla en este link



Muchas gracias Gerva!!!!