1/6/07

Curiosimáticas (I) por Gervasio

A raiz de una coincidencia de cumpleaños, surgió durante el café de media mañana la siguiente pregunta:

¿cuánta gente (elegida aleatoriamente) hace falta en una clase para que la probabilidad de que al menos dos personas cumplan años el mismo día sea superior a 50%?

Llamemos P(n) a la probabilidad de que al menos dos personas cumplan años el mismo día si la clase tiene n personas.

Un primer eructo mental sugiere el siguiente razonamiento:
  • La probabilidad de que dos (o más) personas cumplan año el mismo día es CERO si n=1, luego P(1) = 0.
  • La probabilidad es UNO si n>365: P(n>365) = 1.
Luego, el número n más pequeño que satisface P(n)>0.5 será cercano a 366/2 = 183.

Con 183 personas en la clase, la probabilidad de tener un cumpleaños repetido es superior al 50%.
Como suele suceder con casi todo eructo mental, este razonamiento es completamente erróneo.

Resulta casi sorprendente que con tan solo 23 personas en una clase, la probabilidad de tener un cumpleaños repetido supera el 50%.

Analizando el problema con un poco más de cuidado, resulta evidente que P(183) deber ser muy cercano a 1, ya que la distribución de cumpleaños para no repetir ninguno es altamente improbable. Muchas veces en este tipo de problemas es más fácil calcular la probabilidad de que algo NO ocurra.
Si llamamos Q(n) a la probabilidad de que NO se repita ningún cumpleaños en una clase de n personas, tenemos que

P(n) = 1 - Q(n)

(en otras palabras, la probabilidad de que se repita un cumpleaños sumada a la probabilidad de que no se repita un cumpleaños es 1).

Q(n) es relativamente fácil de calcular:

Q(1) = 365/365 = 1, luego P(1) = 0
Q(2) = (365/365)*(364/365) = Q(1)*364/365
Q(3) = Q(2)*363/365
etc etc etc

Esta es una simple tarea para un PC. El siguiente gráfico muestra
P(n) = 1-Q(n) para n que va de 1 a 80.

Como puntos de referencia:
P(22) = 0.47569530766255019
P(23) = 0.50729723432398555
P(80) = 0.99991433194931345
P(150) = 0.99999999999999978

(les ahorro en la gráfica el aburridísimo detalle de P(80) a P(365), que varía entre 0.9999 y 1.0)


Ahora los dejo con el siguiente ejercicio de probabilidad, conocido en matemáticas como "the broken spaghetti noodle":

Cae al suelo un spaghetti (crudo) y se rompe en 3 partes.
¿Cual es la probabilidad de poder formar un triángulo con las tres partes resultantes?


La respuesta es relativamente simple. Lo divertido del problema es la siguiente generalización:

El spaghetti se rompe en n partes. ¿Cual es la probabilidad de poder formar un n-gono?


La respuesta a ambas preguntas la publicó mi hermano y un amiguete suyo, ambos de la universidad de Berkeley, en el American Mathematical Monthly, y pueden leerla en este link



Muchas gracias Gerva!!!!

5 comentarios:

Manu del Jesus dijo...

Me ha venido a la mente una duda con relacion al tema de los spaghetti. En el paper se plantea el problema como meramente matematico sin tener en cuenta toda la fisica que hay detras del problema. Y mi pregunta basicamente es, si tuviesemos en cuenta la fisica detras de todo esto, (el hecho de que el spaghetto se rompe debido a las ondas de flexion generadas en el impacto, etc, etc), las probabilidades cambiarian, no? Porque a partir de ese momento habra pares (a,b) que sean fisicamente imposibles. Es cierto mi razonamiento?

EigenPersona dijo...

Por supuesto que la física tiene mucho qué decir en todo esto. En el tratamiento del problema se asume que la distribución de probabilidad de los puntos de ruptura es uniforme. De forma que la solución (pensemos en el caso de los 3 cachos) se obtiene como:

P(triangulo) = Integral_0^1 Integral_0^1 delta_dirac(a+b-1/2) * P(a,b)*da*db

En donde Integral significa "Integral" y P(a, b) es la probabilidad de obtener a y b.

En el problema P(a,b) se ha tomado constante. Es posible que con un poco de física se pudiese calcular una P(a,b) un poco más realista en función de:

1.- Cómo cae el espaguetti al suelo
2.- La estructura del espaguetti

Pero yo no tengo mucho tiempo ... jeje

EigenPersona dijo...

He encontrado por ahí algunas referencias sobre el problema del spaghetti. No tanto sobre la geometría de los triángulos o n-gónos que se pueden formar a partir de los trozos, sino, precisamente sobre la física que hay detrás de todo esto.

Más en detalle, el problema que se estudia no es exactamente equivalente al que tratamos aquí (un spaghetti que cae y se rompe), sino parecido: arqueamos un spaghetti crudo hasta su límite de curvatura, y éste se rompe.

Por lo visto, el número de trozos que se generan es siempre un número entre 3 y 10, pero nunca, o muy muy rara vez 2.

Este problema llamó la atención del mismísimo Feynmann. Y todavía la respuesta no está clara.

Parece que unos tipos han arrojado un poco de luz al asunto, y lo han publicado en Physical Review Letters (no está mal para un spaghetti). Aquí os pongo el link:
http://www.lmm.jussieu.fr/~neukirch/files/preprints/spaghetti_3pieces.pdf

Para los que no quieran leerse el tocho, lo resumo brevemente:
- Se trabaja con la ecuación de Kirchoff para el movimiento elástico, en su forma de ondas planas.
- La idea es que tras la ruptura, se producen ondas no lineales, que se reflejan en los extremos por los que el spaghetti es sostenido, y dan lugar a interferencias constructivas en determinadas puntos ... en los que se produce la fractura.
- Básicamente, todo esto lo hacen en base a simulación de la ecuación de Kirchoff.

javis dijo...

Kon lo fázil ke es hazer pasta freska: 250 gr de harina, 1 güevo, sal; y si le kereis dar un toke de kolor: tinta de kalamá, salsa de tomate o pimientos, krema de espinakas, yemas de güevo... pero añadiendo un poko de harina.
Hazeis un volkán kon la harina y en el zentro metéis el güevo y lo ke le del el kolor y kon el dedo índize pillais la yema y empezais a dar güeltas hasta ke se haga una pasta uniforme...

Ale, sakabó la sekzión gastronómika ke no tiene nada ke ver kon lo ke estais komentando :P

Chush dijo...

Cómo controla este tal javi de cocina. Por cierto, en el calculo presupones que la tasa de nacimiento es uniforme a lo largo del año. ¿No sus habeis dado cuenta de que entre marzo y junio están la mayoría de los cumpleaños? Es lo que tiene el verano, q incita a follar.