La paradoja: Bertrand Russell

A nadie engaño si reconozco en estas líneas la profunda admiración que siento por Bertrand Russell. Son demasiadas sus aportaciones a distintas y muy diferentes disciplinas, como para enumerarlas todas una a una. En general, podría ser conocido como el padre de la Lógica Moderna, como uno de los más brillantes filósofos del siglo XX o como el paficista que, junto con A. Einstein, denunció el peligro inminente y las catastróficas consecuencias de una guerra nuclear. (Russell-Einstein Manifesto)




Sin embargo, me gustaría hacer énfasis en su faceta de matemático, que es sin duda, la que más impacto ha provocado en mí, no sólo por el valor de sus investigaciones, sino también por su curioso y sarcástico desarrollo.

Como padre de la Lógica, Russell, emprendió la difícil y tediosa tarea de construir, a modo de enciclopedia, el conjunto de los conocimientos matemáticos de la época, a partir de un número reducido de axiomas y definiciones generales, demostrando así la potencia del método deductivo, y poniendo de manifiesto la aparente simplicidad, perfección y belleza de las matemáticas en su conjunto. Este trabajo, en el que fue ayudado por Alfred North Whitehead, fue recogido en tres volúmenes, conocidos como su Principia Mathematica y supuso una influencia capital en el desarrollo mental de otros grandes matemáticos como Hilbert o Gödel.

Curiosamente, fue el propio Bertran Russell quien se encargó de dinamitar su propia obra, arremetiendo sobre sus mismos cimientos. Con una simple frase, acabó con siglos de tradición matemática. Sencillamente, Bertrand Russell, puso a prueba la teoría de conjuntos en la que se asentaba toda su mecánica y artillería matemática. Su planteamiento fue el siguiente:

Existen conjuntos que no se contienen a sí mismos, como por ejemplo, el conjunto de todos los animales. Sin embargo, existen también conjuntos que sí se contienen a sí mismos, como por ejemplo, el conjunto de todo lo que no son animales. En este contexto, llamemos R al conjunto de conjuntos que no se contienen a sí mismos. Si R se contiene a sí mismo, por definición no puede contenerse a sí mismo, y sin embargo, si R no se contiene a sí mismo, ha de contenerse.

Esta paradoja, es conocida hoy en día como la paradoja de Russell, y constituye una prueba de que la teoría de conjuntos no es consistente, en el sentido de que puede desembocar en paradojas y resultados ambigüos.

Las ideas de Russell calaron profundamente en algunos de los matemáticos de la época. En particular, Kurt Gödel, utilizó un argumento similar de autoreferencia para demostrar la incompletitud de los sistemas matemáticos (fuertes). Cabe destacar la absoluta originalidad de su demostración, que intentaré ilustrar, de forma breve, en futuros posts. Finalmente, Alan Turing, utilizó argumentos similares para demostrar la existencia de problemas matemáticos, no resolubles por un algoritmo.

Las implicaciones fueron grandes para las matemáticas, y se entendió, al fin, que el formalismo si bien potente, es peligroso e incompleto de forma intrínseca. Por primera vez, las matemáticas aparecieron como un objeto difícil de describir de forma rigurosa, con sistemas de símbolos.

Y como la Mecánica Cuántica hizo con la concepción física del Universo, la naturaleza de las matemáticas se volvió un tanto más extravagante, rara e inaccesible de lo que se pensaba.


Recomendación:
The Philosophical Importance of Matematical Logic by Bertrand Russell
The Problems of Philosophy by Bertrand Russell
The Analysis of Mind by Bertrand Russell